摘要： 弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1 k^2)+1]证明方法如下假设直线为:Y=kx+b 圆的方程为:(x-a)^+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为AB,点A为(x1 y1)点B为(...

弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]

证明方法如下

假设直线为:Y=kx+b 圆的方程为:(x-a)^+(y-u)^2=r^2 假设相交弦为AB,点A为(x1.y1)点B为(X2.Y2) 则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^ 把y1=kx1+b.

y2=kx2+b分别带入,则有:AB=√(x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│ 证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1] 的方法也是一样的。

扩展

椭圆弦长公式

│x1-x2│ √ (1+k²)　

设直线y=kx+b

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1

设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)

则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]

把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入

则有

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]

=│x1-x2│ √ (1+k²)　

同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

补充

直线：Ax+By+C=0

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1

求直线和椭圆的交点

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2)

n=2*B*C

p=C^2-A^2*a^2

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2)

n1=2*AC

p1=C^2-B^2*b^2

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+K2)[(X1+X2)2 - 4·X1·X2]求出弦长。